Eufrates: 3.600 kilómetros.
Indo: 2.900 kilómetros.
Danubio: 2.850 kilómetros.
Oxus: 2.540 kilómetros.
Jaxartes: 2.200 kilómetros.
Tigris: 1.900 kilómetros.
El Imperio persa abarcaba la totalidad del Tigris y el Eufrates. El Oxus y el Indo estaban en el extremo oriental de ese Imperio, y el Jaxartes estaba justo al otro lado de su frontera septentrional. El Danubio marcaba la frontera septentrional de gran parte de los territorios europeos del Imperio romano. El origen de todos estos ríos era, o bien del dominio público, o se sabía de ellos por los relatos de los viajeros, como en el caso del Oxus y del Jaxartes.
Sólo quedaba el Nilo. Desde el principio había sido el corazón de Egipto, más tarde formó parte del Imperio persa, y mucho más tarde aún perteneció al Imperio romano. Pero el Nilo era dos veces más largo (ahora lo sabemos) que el más largo de estos ríos, y se extendía más allá de los límites de la civilización incluso en la época moderna; así que en aquella época nadie sabia dónde estaban sus fuentes.
Los egipcios fueron los primeros en preguntárselo. Hacia el 1.678 a. C. el país fue invadido por los asiáticos, que utilizaban el carro y el caballo para hacer la guerra, cosas nunca vistas hasta entonces en Egipto. Por último, hacia el 1.570 a.C., lograron expulsarlos de su territorio.
En revancha se lanzaron a la invasión de Asia, fundando el Imperio egipcio. Durante casi cuatro siglos Egipto fue la mayor potencia mundial.
En los tiempos del Imperio los egipcios también se abrieron paso Nilo arriba. El río presenta algunos tramos de aguas turbulentas («cataratas»), numerados de norte a sur. La Primera Catarata se encuentra en la ciudad que los griegos llamaban Syene, y que hoy en día conocemos por el nombre de Asuán. Está a 885 kilómetros al sur del Mediterráneo. Esto suponía un problema para la navegación, y el Egipto propiamente dicho no se extendía más al sur de la Primera Catarata. Incluso en la actualidad Egipto sólo se extiende unos 225 kilómetros al sur de esta catarata.
Al sur de la Primera Catarata estaba el país de Nubia, el actual Sudán. Los monarcas egipcios más poderosos habían intentado en algunas ocasiones extender sus dominios más allá de la Primera Catarata, y este esfuerzo llegó al máximo en la época imperial. Hacia el 1.460 a.C. el conquistador más famoso del imperio, Thutmosis III, llegó hasta la Cuarta Catarata, donde estaba Napata, la capital de Nubia.
Napata se encuentra a unos 2.000 kilómetros de la desembocadura del Nilo, y el río sigue teniendo un fuerte y poderoso caudal, sin ningún indicio de disminuir al acercarse a su fuente.
Los posteriores conquistadores de Egipto, los Tolomeos, los romanos y los musulmanes, no intentaron extender su control al sur de la Primera Catarata. Si algún explorador se aventuró más al sur, no se conserva ningún relato coherente de sus viajes.
El primer europeo que se aventuró al sur de Asuán en la edad moderna fue un explorador escocés, James Bruce (1730–1794). En 1770 llegó a Jartum (la actual capital de Sudán), que se encuentra a unos 640 kilómetros río arriba desde las ruinas de Napata. Allí se unen dos ríos que forman el Nilo. Uno de ellos (el Nilo Azul) viene del sureste, y el otro (el Nilo Blanco) del suroeste.
Bruce remontó la corriente del Nilo Azul durante unos 1.300 kilómetros, hasta llegar al lago Tana, al noroeste de Etiopía. Creyó que este lago era la fuente del Nilo, pero se equivocaba. El Nilo Azul es un simple afluente; la corriente principal es la del Nilo Blanco.
Los comerciantes árabes habían traído confusas historias sobre la existencia de grandes lagos en el África oriental, y algunos exploradores europeos pensaron que era posible que alguno de ellos fuera la fuente del Nilo Blanco. Dos exploradores ingleses, Richard Francis Burton (1821–1890) y John Hanning Speke (1827–1864), salieron de Zanzíbar, en la costa oriental africana, en 1857, y en febrero de 1858 llegaron al lago Tanganika, una extensión de agua larga y estrecha a 1.000 kilómetros de distancia de la costa africana.
Entonces Burton abandonó la empresa. Pero Speke se dirigió solo hacia el norte, y el 30 de julio de 1858 llegó al lago Victoria. Este lago tiene una superficie de 69.500 kilómetros cuadrados, un poco mayor que la de Virginia del Oeste. Es el lago más grande de África, y sólo hay un lago de agua dulce en el mundo mayor que él, el Superior, con una superficie que sobrepasa en un quinto la del lago Victoria.
Una gota de agua que partiera de la cabecera del Luvironza llegaría al lago Victoria, pasando luego al Nilo Blanco y de allí al Mediterráneo, completando un recorrido de 6.726 kilómetros.
Por tanto, las fuentes del Luvironza son también las fuentes del Nilo, y se encuentran en lo que hoy en día es Burundi, a unos 55 kilómetros al este del lago Tanganika.
Cuando Burton abandonó, estaba a punto de llegar a las fuentes del Nilo.
Pero ¿cómo iba a saberlo?
NOTA
Este artículo es bastante tranquilo y poco problemático, pero aborda la Historia desde mi punto de vista, más bien poco común.
Como las matemáticas, la Historia no corresponde al amor que le profeso. Lo cierto es que en la universidad estuve dudando entre especializarme en historia o en química. Decidí estudiar química porque me pareció que si me hacia historiador, estaría condenado a la vida académica, mientras que, si me hacía químico, podría trabajar en la industria o en la investigación.
Fue una increíble estupidez por mi parte, porque cuando, por último, me gradué en química, me di cuenta de que la industria no era lo mío, y no me alejé del mundo académico.
Pero nunca he abandonado la Historia; he escrito muchos libros de Historia, así como muchos libros científicos, y hasta cuando hablo de ciencia tengo tendencia a considerarla desde un punto de vista histórico. Les estoy muy agradecido a mis editores por seguirme la corriente y publicar cualquier cosa que escriba, permitiéndome así seguir
todas
mis distintas inclinaciones: la química
y
la Historia (y también cualquier otra cosa que me llame la atención).
Siempre me han irritado las paradojas; me refiero a las afirmaciones contradictorias. Estoy convencido de que el Universo funciona de tal manera que no incurre en contradicciones. Por tanto, si nos encontramos con una aparente paradoja, sólo se debe a que nos hemos empeñado maliciosamente en decir algo indebido.
Voy a darles un ejemplo de paradoja. Supongamos que en determinado pueblo hay un solo barbero, que afeita a todos los hombres del pueblo excepto a los que se afeitan solos. La pregunta es: ¿Quién afeita al barbero?
El barbero no puede afeitarse él solo porque únicamente afeita a aquellos que no se afeitan solos. Por otra parte, si no se afeita solo, las condiciones del problema le obligan a afeitarse a si mismo.
Pero las paradojas sólo surgen cuando insistimos en hacer afirmaciones que contienen en si mismas la semilla de la contradicción. La manera correcta de definir
sensatamente
esta situación, es decir: «El barbero se afeita solo, y además afeita a todos los otros hombres del pueblo excepto a aquellos que se afeitan solos.» Entonces no hay ninguna paradoja.
Aquí tienen otra. Cierto monarca despótico decreta que todo el que cruce determinado puente tiene que declarar a dónde va y para qué. Si miente, será colgado. Si dice la verdad, le dejarán marchar en paz.
Un hombre cruza el puente, le preguntan a dónde va y para qué, y responde: «Voy a la horca para ser colgado.»
Ahora bien, si entonces le cuelgan, resultará que había dicho la verdad y tendrían que haberle dejado en paz. Pero si le dejan en paz, lo que ha dicho es mentira y tendría que haber sido colgado.
También aquí hay que prevenir esta posibilidad y excluirla para que el decreto tenga sentido. (En la vida real me imagino que el monarca despótico diría: «Que le cuelguen por pasarse de listo», o «No ha dicho la verdad hasta que no sea colgado, así que podéis dejar su cadáver en paz.»)
En matemáticas se tiende a
evitar
las posibles fuentes de paradojas. Por ejemplo, si fuera posible dividir por cero, seria fácil demostrar que todos los números, sean del tipo que fueren, son iguales. Para evitarlo, los matemáticos prohíben la división por cero, y no hay más que hablar.
Otras paradojas matemáticas más sutiles tienen su utilidad, ya que estimulan el pensamiento y fomentan el aumento del rigor matemático. Por ejemplo, en el 450 a. C. el filósofo griego Zenón de Elea propuso cuatro paradojas que parecían demostrar que el movimiento, tal como es percibido, es imposible.
La más conocida es la paradoja de «Aquiles y la tortuga». Aquí la tienen:
Supongamos que Aquiles (el más veloz de todos los héroes griegos que sitiaron Troya) puede correr diez veces más deprisa que una tortuga, y supongamos que ambos toman parte en una carrera, con una ventaja inicial de diez metros para la tortuga.
En ese caso se puede afirmar que es imposible que Aquiles adelante a la tortuga, porque cuando Aquiles haya recorrido los diez metros que le separan de la posición de partida de la tortuga ésta ya habrá avanzado un metro. Cuando Aquiles recorre este metro, la tortuga ha avanzado la décima parte de un metro, y cuando Aquiles recorre esta distancia, la tortuga ha avanzado una centésima de metro, y así hasta el infinito. Aquiles se aproxima cada vez más, pero no puede alcanzarla nunca del todo.
El razonamiento es impecable, pero todos sabemos que, en realidad, Aquiles no tardaría mucho en adelantar a la tortuga. Lo cierto es que. si dos personas A y B disputan una carrera, y si A es más veloz que B, por muy pequeña que sea la diferencia, A acabará por adelantar a B, aunque B salga con una ventaja de partida muy grande (pero finita), siempre que las dos partes se desplacen constantemente a la velocidad máxima que pueden alcanzar durante un período de tiempo indefinidamente prolongado.
Esa es la paradoja. Según el razonamiento lógico Aquiles no puede adelantar a la tortuga, pero la observación de la realidad nos dice que puede hacerlo y lo hace.
Esta paradoja dejó perplejos a los matemáticos durante dos mil años, en parte debido a que parecía darse por supuesto que, dada una serie de números infinita, como, por ejemplo, 10 + 1 + 1/10 + 1/100… su suma tiene que ser infinita, y que el tiempo que se tarda en recorrer la distancia representada por estos números también tiene que ser infinito.
Pero con el tiempo los matemáticos se dieron cuenta de que esta suposición tan obvia en apariencia —que la suma de un conjunto infinito de números, por pequeños que sean, tiene que ser infinita— sencillamente no era cierta. Normalmente se atribuye la demostración de este hecho, realizada hacia 1670, al matemático escocés James Gregory (1638–1675).
Retrospectivamente es una demostración sorprendentemente sencilla. En la serie 10+1+1/10+1/100…, si sumamos 10 y 1 tenemos 11; si a esto le sumamos 1/10, tenemos 11,1; si a esto le sumamos 1/100, tenemos 11,11; si a esto le sumamos 1/1.000, tenemos 11,111. Si añadimos un número infinito de términos, tendremos 11,111111… Pero este número decimal infinito no es más que 11 1/9 en fracciones.
Por consiguiente, el conjunto de números infinitamente decrecientes que representa la ventaja de la tortuga sobre Aquiles suma en total 111/9 metros, y Aquiles adelanta a la tortuga en el tiempo que tarde en recorrer 111/9 metros.
Una serie infinita, cuya suma es finita, es una «serie convergente», y el ejemplo más sencillo es, a mi juicio, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8…, en la que cada término es la mitad del anterior. Si se ponen a sumar los términos de esta serie, pronto se convencerán de que la suma de toda esta sucesión infinita es sencillamente 2.
Una serie infinita, cuya suma es infinita, es una «serie divergente». así, la serie 1 + 2 +4+8… evidentemente crece ilimitadamente, así que se puede decir que su suma es infinita.
No siempre es fácil saber si una serie es divergente o convergente. Por ejemplo, la serie 1 + 1/2+ 1/3+ 1/4+ 1/5… es divergente. Si se suman sus términos, el resultado crece constantemente. Por supuesto, el incremento del valor de la suma es cada vez más pequeño, pero tomando un número suficiente de términos, se puede obtener un valor de su suma igual a 2, 3 ó 4, o cualquier número más elevado que se les ocurra.
Creo que esta serie es la más suavemente divergente que existe.
Si no recuerdo mal, me enteré de la existencia de las series convergentes cuando estudié álgebra intermedia en la escuela secundaria, a los catorce años, y el descubrimiento me dejó totalmente estupefacto.
Por desgracia, no soy un matemático nato. Ha habido hombres que incluso en los años de su juventud eran capaces de comprender relaciones matemáticas verdaderamente sutiles; hombres como Galois, Clairaut, Pascal, Gauss y otros; pero yo estoy a años-luz de ellos.
Luché con las series convergentes y conseguí vislumbrar algo de una manera confusa y asistemática, y ahora, casi medio siglo después, con mucha más experiencia, puedo presentarles estas meditaciones adolescentes de una manera mucho más sensata.
Consideremos, por ejemplo, la serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16… e intentemos hallar un modo de representarla que sea fácilmente visualizable. Imaginémonos, por ejemplo, una serie de cuadrados; el primero de un centímetro de lado, el segundo de 1/2 centímetro, el tercero de 1/4 centímetro, el cuarto de 1/8 centímetro, etc. Imaginemos que los colocamos uno pegado al otro, con el mayor a la izquierda, el segundo más grande a la derecha de aquél, luego el tercero en tamaño, luego el cuarto y así sucesivamente. así tenemos una línea de infinitos cuadrados cada vez más pequeños, uno al lado del otro.
Todos ellos juntos,
todos
ellos, ocuparían en total una longitud de dos centímetros. El primero ocuparía la mitad de la longitud total, el siguiente la mitad del resto, el siguiente la mitad de lo que quede, y así
hasta el infinito
.
Claro que los cuadrados se hacen extremadamente pequeños con mucha rapidez. El vigésimo séptimo cuadrado tiene aproximadamente el tamaño de un átomo, y una vez que ocupa su puesto en la fila, todo lo que queda del total de dos centímetros es un espacio de una anchura aproximadamente igual a la de un átomo. Pero en este espacio se amontona un número infinito de cuadrados que siguen disminuyendo rápidamente de tamaño.